Borsche studierte Medizin in Berlin und Freiburg. Nach der Promotion absolvierte er die chirurgische Facharztausbildung in Karlsruhe. Es folgte die Spezialisierung auf Plastische Chirurgie in Ludwigshafen und Frankfurt am Main. Seit 1995 ist er Chefarzt für Plastische Chirurgie am Diakonie-Krankenhaus der Kreuznacher Diakonie.

Seit 1996 ist Borsche Leiter der Interplast-Sektion Bad Kreuznach und engagiert sich regelmäßig für plastisch-chirurgische Hilfsprojekte. Von 1999 bis 2011 war er Vorsitzender von Interplast-Germany. Für seine ehrenamtlichen Einsätze mit Interplast in Entwicklungsländern wurde er mit dem Bundesverdienstkreuz ausgezeichnet. 2009 wurde Borsches Abteilung für Plastische, Rekonstruktive und Ästhetische Chirurgie im Diakonie-Krankenhaus durch den Präsidenten der deutschen Plastischen Chirurgen als beste Weiterbildungsstätte für Plastische Chirurgie in Deutschland ausgezeichnet.

Seit 2004 ist Borsche Mitglied der International Society of Aesthetic Plastic Surgery und wurde 2011 in das Humanitarian Board von IPRAS, dem Weltverband der Plastischen Chirurgen, gewählt. 2011 nahm Borsche die Erich-Lexer-Medaille der Deutschen Gesellschaft für Chirurgie für Interplast entgegen.